Question

【题目】已知函数在点处的切线与直线平行.

（1）求的值；

（2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围；

（3）求证：对任意，时，恒成立.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3)详见解析.

【解析】试题分析:(1)对函数求导,由求出a值;(2) 由（Ⅰ）得,根据导函数大于0和小于0可求出函数的单调区间,进而得出函数的极值, 函数在区间上不单调，即极值点在区间内,解出m范围即可;(3)对不等式化简,分离参数b和变量x,可得时，原不等式等价于恒成立，构造,求导判断单调性求出最值,即可证得命题成立.

试题解析:

（Ⅰ）解：因为，所以，根据题意，，

所以，所以．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，定义域为，

当时，，在上为增函数，

当时，，在上为减函数，

所以函数在处取得极值，又函数在区间上不单调，

所以，所以．

（Ⅲ）证明：当时，，

所以时，原不等式等价于恒成立，

令，则，

令，则在上恒成立，

所以在上是增函数，，所以，

所以在上是增函数，所以，即原不等式恒成立．