【题目】已知函数f(x)= .(x>0)
(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数?证明你的结论;
(2)若当x>0时,f(x)> 恒成立,求正整数k的最大值.
【答案】
(1)解:函数f(x)=
∴f′(x)= [ ﹣1﹣ln(x+1)]=﹣ [ +ln(x+1)].
由x>0,x2>0, >0,ln(x+1)>0,得f′(x)<0.
因此函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数
(2)解:解法一:当x>0时,f(x)> 恒成立,令x=1有k<2[1+ln2].
又k为正整数.则k的最大值不大于3.
下面证明当k=3时,f(x)> (x>0)恒成立.
即证明x>0时(x+1)ln(x+1)+1﹣2x>0恒成立.
令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1﹣2x,
则g′(x)=ln(x+1)﹣1.
当x>e﹣1时,g′(x)>0;当0<x<e﹣1时,g′(x)<0.
∴当x=e﹣1时,g(x)取得最小值g(e﹣1)=3﹣e>0.
∴当x>0时,(x+1)ln(x+1)+1﹣2x>0恒成立.
因此正整数k的最大值为3.
解法二:当x>0时,f(x)> 恒成立.
即h(x)= >k对x>0恒成立.
即h(x)(x>0)的最小值大于k.
由h′(x)= ,记Φ(x)=x﹣1﹣ln(x+1).(x>0)
则Φ′(x)= >0,
∴Φ(x)在(0,+∞)上连续递增.
又Φ(2)=1﹣ln3<0,Φ(3)=2﹣2ln2>0,
∴Φ(x)=0存在惟一实根a,且满足:a∈(2,3),a=1+ln(a+1),
由x>a时,Φ(x)>0,h′(x)>0;0<x<a时,Φ(x)<0,h′(x)<0知:
h(x)(x>0)的最小值为h(a)= =a+1∈(3,4).
因此正整数k的最大值为3
【解析】(1)直接求函数f(x)的导函数,化简导函数分子,判断正负即可;(2)可以先利用特殊值x=1先尝试k的可能值,然后用导数的方法予以证明;或者构造新函数将问题转化为求函数最值,利用函数的导数去研究函数的最值即可.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.
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【题目】已知函数f(x)对任意的实数满足: ,且当﹣3≤x<﹣1时,f(x)=﹣(x+2)2 , 当﹣1≤x<3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)= .
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【题目】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益函数为R(x)= ,其中x是仪器的产量(单位:台);
(1)将利润f(x)表示为产量x的函数(利润=总收益﹣总成本);
(2)当产量x为多少台时,公司所获利润最大?最大利润是多少元?
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【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA=PC=5,PB=4,AB=BC=2 ,∠ACB=30°.
(1)求证:AC⊥PB;
(2)求三棱锥P﹣ABC的体积.
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【题目】已知函数f(x)=x2﹣2ax+a.
(1)若对任意的实数x都有f(1+x)=f(1﹣x)成立,求实数a的值;
(2)若f(x)在区间[1,+∞)上为单调增函数,求实数a的取值范围;
(3)当x∈[﹣1,1]时,求函数f(x)的最大值.
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