Question

【题目】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PC=5，PB=4，AB=BC=2 ，∠ACB=30°．

（1）求证：AC⊥PB；
（2）求三棱锥P﹣ABC的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AC的中点D，连接PD、BD．

∵AB=BC，PA=AC，D为AC的中点，

∴PD⊥AC，BD⊥AC，

又BD平面PBD，PD平面PBD，BD∩PD=D，

∴AC⊥平面PBD．

∵PB平面PBD，

∴AC⊥PB．

（2）解：AB=BC=2 ，∠ACB=30°．

∴BD= BC= ，AD=CD= AC=3．

∴PD= =4，又PB=4，

∴△PBD是等腰三角形，作PB⊥BD于O，则O为BD的中点，

∴PO= = ．

∴S△PBD= = = ．

∴VP﹣ABC=VA﹣PBD+VC﹣PBD= S△PBD（AD+CD）= = ．

【解析】（1）取AC的中点D，连接PD、BD，利用三线合一得出PD⊥AC，BD⊥AC，于是AC⊥平面PBD，从而得出AC⊥PB；（2）计算AC，PD从而得出PB=PD，求出△PBD的面积，则VP﹣ABC= S△PBDAC．