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    如图，在平面角为60°的二面角α－l－β内有一点P，P到α、β分别为PC＝2 cm，PD＝3 cm，则

    (1)垂足的连线CD等于多少？

    (2)P到棱l的距离为多少？

    答案：
    解析：

    　　解：∵PC、PD是两条相交直线，

    　　∴PC、PD确定一个平面，设交棱l于E，连CE、DE．

    　　∵PC⊥，∴PC⊥l，

    　　又∵PD⊥，∴PD⊥l．

    　　∴l⊥平面，则l⊥CE、DE，故CED即为二面角的平面角，即CED＝60°．

    　　∴CPD＝120°，△PCD中，PD＝3，PC＝2，由余弦定理得CD＝cm．由PD⊥DE，PC⊥CE可得P、D、E、C四点共圆，且PE为直径，由正弦定理得PE＝2R＝＝＝cm．

    　　说明：三垂线定理及其逆定理是作二面角的平面角的最主要的方法，要引起重视．


    提示：

    对于本题若这么做：过C在平面内作棱l的垂线，垂足为E，连DE，则CED即为二面角的平面角．这么作辅助线看似简单，实际上在证明CED为二面角的平面角时会有一个很麻烦的问题，需要证明P、D、E、C四点共面．这儿，可以通过作垂面的方法来作二面角的平面角．


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    （2012•月湖区模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．

    （1）求证：BD⊥平面POA；
    （2）设点Q满足
    AQ
    =λ
    QP
    (λ＞0)    ，试探究：当PB取得最小值时，直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于
    π
    4
    ？并说明理由．

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    如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥面ABCD，PC=2a，E、F分别是PA和AB的中点．
    （1）求证：EF∥面PBC；
    （2）求证：平面PDB⊥平面PAC；
    （3）求EF与平面PAC所成的角的正切值．

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    （2012•福州模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
    （Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
    （Ⅱ）当PB取得最小值时，请解答以下问题：
    （i）求四棱锥P-BDEF的体积；
    （ii）若点Q满足
    AQ
    =λ
    QP
     （λ＞0），试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于
    π
    4
    ？并说明理由．

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    （2012•许昌三模）如图，在四面体ABCD中，二面角A-CD-B的平面角为60°，AC⊥CD，BD⊥CD，且AC=CD=2BD，点E、F分别是AD、BC的中点．
    （Ⅰ）求证：EF⊥平面BCD；
    （Ⅱ）求二面角A-BD-C的余弦值．

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