Question

（2012•月湖区模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．

（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）设点Q满足

AQ

=λ

QP

(λ＞0)，试探究：当PB取得最小值时，直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于

π

4

？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用菱形ABCD的对角线互相垂直证明BD⊥AO，证明PO⊥平面ABFED，可得PO⊥BD，利用线面垂直的判定，可得
BD⊥平面POA；
（2）建立空间直角坐标系O-xyz，设PO=x，求出x=

3

时，|PB|min=

10

，此时PO=

3

，进一步求点Q的坐标，求出平面PBD的法向量

n

=(1，0，1)，利用向量的夹角公式，可证直线OQ与平面E所成的角大于

π

4

．

解答：（1）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
（2）解：如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．
设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，
故BD=4，HB=2，  HC=2

3

．
又设PO=x，则OH=2

3

-x，OA=4

3

-x，所以O（0，0，0），P（0，0，x），B(2

3

-x，2，0)，
故

PB

=

OB

-

OP

=(2

3

-x，2，-x)，
所以|

PB

|=

(2 3 -x)2+22+x2

=

2(x- 3 )2+10

，
当x=

3

时，|PB|min=

10

．此时PO=

3

，…（6分）
设点Q的坐标为（a，0，c），由（1）知，OP=

3

，则A(3

3

，0，0)，B(

3

，2，0)，D(

3

，-2，0)，P(0，0，

3

)．
∴

AQ

=(a-3

3

，0，c)，

QP

=(-a，0，

3

-c)，
∵

AQ

=λ

QP

，∴

a-3 3 =-λa c= 3 λ-λc

．            
∴Q(

3 3

λ+1

，0，

3 λ

λ+1

)，∴

OQ

=(

3 3

λ+1

，0，

3 λ

λ+1

)．   （10分）
设平面PBD的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n

•

PB

=0，

n

•

BD

=0．
∵

PB

=(

3

，2，-

3

)，

BD

=(0，-4，0)，∴

3 x+2y- 3 z=0 -4y=0

取x=1，解得：y=0，z=1，所以

n

=(1，0，1)．…（8分）
设直线OQ与平面E所成的角θ，
∴sinθ=|cos＜

OQ

，

n

＞|=

| OQ • n |

| OQ |•| n |

=

| 3 3 λ+1 + 3 λ λ+1 |

2 • ( 3 3 λ+1 )2+( 3 λ λ+1 )2

=

|3+λ|

2 • 9+λ2

=

1

2

9+6λ+λ2 9+λ2

=

1

2

1+ 6λ 9+λ2

．…（10分）
又∵λ＞0∴sinθ＞

2

2

．∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ＞

π

4

．
因此直线OQ与平面E所成的角大于

π

4

，即结论成立．…（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，确定平面的法向量是关键．