Question

已知实数x、y满足，若不等式a（x²+y²）≥（x+y）²恒成立，则实数a的最小值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   2

Answer 1

C
分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，而k=表示区域内动点P（x，y）与原点连线的斜率，运动点P可得k的取值范围为[2，4]．不等式a（x²+y²）≥（x+y）²可化为a≥1+，再算出不等式右边的最大值，即可得到实数a的最小值．
解答：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，
其中A（，），B（1，4），C（2，4）
设k=，表示区域内动点P（x，y）与原点O连线的斜率，
运动点P，可得当P与A重合时，斜率取得最小值为2；
当P与C重合时，斜率取得最大值为4．
因此，k=的取值范围为[2，4]
∵不等式a（x²+y²）≥（x+y）²恒成立，
∴两边都除以x²+y²，得a≥=1+=1+
∵k∈[2，4]，可得∈[，]
∴t=1+的取值范围为[，]
∵a≥1+对任意k∈[2，4]恒成立，∴a≥（1+）_max=
故选：C
点评：本题给出二元一次不等式组，求使不等式a（x²+y²）≥（x+y）²恒成立的实数a的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式和不等式恒成立等知识点，属于基础题．