Question

【题目】已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2 时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得标准方程为x2+（y﹣4）2=4，

则此圆的圆心为（0，4），半径为2．若直线l与圆C相切，则有 ．解得 ．

（2）解：联立方程 并消去y，

得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）=0．

设此方程的两根分别为x1、x2，

所以x1+x2=﹣ ，x1x2=

则AB= = =2

两边平方并代入解得：a=﹣7或a=﹣1，

∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．

另解：圆心到直线的距离为d= ，

AB=2 =2 ，可得d= ，

解方程可得a=﹣7或a=﹣1，

∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．

【解析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，（1）当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．