【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=2.
(1)若点M的直角坐标为(2, ),直线l与曲线C1交于A、B两点,求|MA|+|MB|的值.
(2)设曲线C1经过伸缩变换 得到曲线C2 , 求曲线C2的内接矩形周长的最大值.
【答案】
(1)解:曲线C的极坐标方程为ρ=2,则曲线C的直角坐标方程为:x2+y2=4,
直线l: ,转化成普通方程为:y﹣ x+ =0,
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
将直线l的参数方程带入圆的直角坐标方程x2+y2=4,
整理得:t2+5t+3=0,
△>0,故t1,t2是方程的两个根,
∴t1+t2=﹣5,t1t2=3,
|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=5;
(2)解: 代入曲线C的方程得: ,
设曲线C′的内接矩形周长为P,
曲线C′的内接矩形的第一象限内的顶点为N(x′,y′)(0<x< ,0<y<1),
x′2+3y′2=3,x′= ,
P=4x′+4y′=4 +4y′,
令f(y)=4 +4y′,
f′(y)= +4,
令f′(y′)=0得y= ,
当0<y′< 时,f′(y′)>0,当 <y<1时,f′(y′)<0.
∴当y′= 时,f(y)取得最大8.
曲线C′的内接矩形周长的最大8
【解析】(1)求得曲线C的直角坐标方程,把直线l代入圆的直角坐标方程,化简后利用韦达定理可求t1+t2 , t1t2的值,由|MA|+|MB|=|t1﹣t2|= ,即可求得|MA|+|MB|的值;(2)设矩形的顶点坐标为(x′,y′),则根据x′,y′的关系消元得出P关于x(或y)的函数,利用导数,求出此函数的最大值.
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【题目】已知点P(1,m)在抛物线C:y2=2Px(P>0)上,F为焦点,且|PF|=3.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点T(4,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点.
(ⅰ)求 的值;
(ⅱ)若以A为圆心,|AT|为半径的圆与y轴交于M,N两点,求△MNF的面积.
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【题目】已知集合A={x|x=a0+a1×2+a2×22+a3×23},其中ai∈{0,1,2}(i=0,1,2,3),且a0≠0,则A中所有元素之和等于 .
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【题目】已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示.
(1)试估计该产品收益率的中位数;
(2)若该产品的售价(元)与销量(万份)之间有较强线性相关关系,从历史销售记录中抽样得到如表5组与的对应数据:
售价(元) | 25 | 30 | 38 | 45 | 52 |
销量(万份) | 7.5 | 7.1 | 6.0 | 5.6 | 4.8 |
根据表中数据算出关于的线性回归方程为,求的值;
(3)若从表中五组销量数据中随机抽取两组,记其中销量超过6万份的组数为,求的分布列及期望.
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【题目】假设小明家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30﹣7:30之间把报纸送到小明家,小明父亲离开家去工作的时间在早上7:00﹣8:00之间,问小明父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
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【题目】已知,圆C:x2+y2﹣8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.
(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点,且AB=2 时,求直线l的方程.
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【题目】某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度,选了某小区的100位居民调查结果统计如下:
支持 | 不支持 | 合计 | |
年龄不大于50岁 | 80 | ||
年龄大于50岁 | 10 | ||
合计 | 70 | 100 |
(1)根据已有数据,把表格数据填写完整;
(2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关?
(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性,其中2位是女教师,现从这5名女性中随机抽取3人,求至多有1位女教师的概率.
附:,
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3 , (n∈N+)能被9整除”,要利用归纳法假设证n=k+1时的情况,只需展开( ).
A.(k+3)3
B.(k+2)3
C.(k+1)3
D.(k+1)3+(k+2)3
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