【题目】已知点P(1,m)在抛物线C:y2=2Px(P>0)上,F为焦点,且|PF|=3.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点T(4,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点.
(ⅰ)求 的值;
(ⅱ)若以A为圆心,|AT|为半径的圆与y轴交于M,N两点,求△MNF的面积.
【答案】
(1)解:抛物线C:y2=2px(p>0),
∴焦点F( ).…(1分)
由抛物线定义得:|PF|=1+ =3,
解得p=4,
∴抛物线C的方程为y2=8x.
(2)解:(i)依题意可设过点T(4,0)的直线l的方程为x=ty+4,
由 ,得y2﹣8ty﹣32=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=8t,y1y2=﹣32,
∴ ,
∴ = + =16﹣32=﹣16.
(ii)设A(x1,y1),M(0,yM),N(0,yN),则 ,①
以A为圆心,|AT|为半径的圆的方程为 ,
令x=0,则 +(y﹣y1)2=(4﹣x1)2+ ,②
把①代入②得(y﹣y1)2=16,
∴y=y1+4或y=y1﹣4,
∴|MN|=|yM﹣yN|=8,
∴S△MNF= |MN||OF|= =8.
【解析】(1)由抛物线定义得:|PF|=1+ =3,由此能求出抛物线C的方程.(2)(i)依题意设过点T(4,0)的直线l的方程为x=ty+4,由 ,得y2﹣8ty﹣32=0,由此利用韦达定理能求出 =﹣16.(ii)设A(x1 , y1),M(0,yM),N(0,yN),则 ,以A为圆心,|AT|为半径的圆的方程为 ,由此能求出△MNF的面积.
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【题目】我校要从参加数学竞赛的1000名学生中,随机抽取50名学生的成绩进行分析,现将参加数学竞赛的1000名学生编号如下000,001,002,…,999,如果在第一组随机抽取的一个号码为015,则抽取的第40个号码为 .
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点A的极坐标为( , ),直线l的极坐标方程为ρcos(θ﹣ )=a,且点A在直线l上.
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;
(2)若圆C的参数方程为 (α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.
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【题目】
设函数
(Ⅰ)若是函数的极值点,1和是的两个不同零点,且
且,求的值;
(Ⅱ)若对任意, 都存在( 为自然对数的底数),使得
成立,求实数的取值范围.
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【题目】为了解高三年级学生寒假期间的学习情况,某学校抽取了甲、乙两班作为对象,调查这两个班的学生在寒假期间平均每天学习的时间(单位:小时),统计结果绘成频率分布直方图(如图).已知甲、乙两班学生人数相同,甲班学生平均每天学习时间在区间的有8人.
(I)求直方图中的值及甲班学生平均每天学习时间在区间的人数;
(II)从甲、乙两个班平均每天学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试,设4人中甲班学生的人数为,求的分布列和数学期望.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=2.
(1)若点M的直角坐标为(2, ),直线l与曲线C1交于A、B两点,求|MA|+|MB|的值.
(2)设曲线C1经过伸缩变换 得到曲线C2 , 求曲线C2的内接矩形周长的最大值.
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