Question

（本题满分14分）已知函数f（x）＝ax2－|x|＋2a－1（a为实常数）．

（1）若a＝1，作函数f（x）的图象；

（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；

（3）设h（x）＝，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

 

 

Answer 1

（1）见解析（2） （3）

【解析】

试题分析：（1）当a=1时化简函数式，由此可画出图像如下

（2）当时，，对a加以讨论，分这几种情况，结合图像，利用单调性可得

（3） 当x∈[1，2]时，依题意h（x）=ax+-1，h（x）在区间[1，2]上是增函数，由函数单调性定义可得

在区间[1，2]上任取x1，x2，且x1＜x2，

则h（x2）-h（x1） =（x2-x1）＞0，

因为x2-x1＞0，x1x2＞0，所以ax1x2-（2a-1）＞0，即ax1x2＞2a-1，对a分情况讨论得：

当a=0时，上面的不等式变为0＞-1，即a=0时结论成立．

当a＞0时，x1x2＞，由1＜x1x2＜4得，≤1，解得0＜a≤1，

当a＜0时，x1x2＜，由1＜x1x2＜4得，≥4，解得

综上，实数a的取值范围为

试题解析： （1）当a=1时，

作图（如图所示）

（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax2-x+2a-1．

若a=0，则f（x）=-x-1在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3．

若a≠0，则，f（x）图象的对称轴是直线x=

当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3．

当0＜＜1，即a＞时，f（x）在区间[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a-2．

当1≤2，即≤a≤时，g（a）=f（）=

当>2，即0＜a＜时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3．

 

综上可得

（3）当x∈[1，2]时，h（x）=ax+-1，在区间[1，2]上任取x1，x2，且x1＜x2，

则h（x2）-h（x1）=（ax2+-1）-（ax1+-1）=（x2-x1）（a-）=（x2-x1）

因为h（x）在区间[1，2]上是增函数，所以h（x2）-h（x1）＞0，

因为x2-x1＞0，x1x2＞0，所以ax1x2-（2a-1）＞0，即ax1x2＞2a-1，

当a=0时，上面的不等式变为0＞-1，即a=0时结论成立．

当a＞0时，x1x2＞，由1＜x1x2＜4得，≤1，解得0＜a≤1，

当a＜0时，x1x2＜，由1＜x1x2＜4得，≥4，解得

综上，实数a的取值范围为

考点：含绝对值的函数的图像和性质及分类讨论思想．