Question

已知双曲线x²-y²=a²（a＞0）的左、右顶点分别为A、B，双曲线在第一象限的图象上有一点P，∠PAB=α，∠PBA=β，∠APB=γ，则（　　）

• A、tanα+tanβ+tanγ=0
• B、tanα+tanβ-tanγ=0
• C、tanα+tanβ+2tanγ=0
• D、tanα+tanβ-2tanγ=0

Answer 1

分析：A（-a，0），B（a，0），P（x，y），tanα=

y

x+a

，-tanβ=

y

x-a

，由x²-y²=a²得

y2

x2-a2

=1，所以-tanαtanβ=1，tanγ=-tan（α+β）=-

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=-

1

2

(tanα+tanβ)，故tanα+tanβ+2tanγ=0．

解答：解：A（-a，0），B（a，0），P（x，y），
PA的斜率tanα=

y

x+a

，①
PB的斜率-tanβ=

y

x-a

，∴tanβ=-

y

x-a

，②
由x²-y²=a²得

y2

x2-a2

=1，
①×②，得-tanαtanβ=1，
tanγ=tan[π-（β+α）]=-tan（α+β）=-

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=-

1

2

(tanα+tanβ)，
∴tanα+tanβ+2tanγ=0．
故选C．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意三角函数的合理运用．