Question

14．关于x的方程2^2x-m2^x+4=0（x＜0）有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 令t=2^x，则原方程化为t²-mt+4=0（0＜t＜2），分离参数得到m=t+$\frac{4}{t}$，构造函数，利用导数求出函数在（0，2）上的单调性，即可求出m的取值范围

解答 解：令t=2^x，
∵x＜0，
∴1＜t＜2，
则原方程化为t²-mt+4=0（0＜t＜2），
∴m=t+$\frac{4}{t}$，
设f（t）=t+$\frac{4}{t}$，
∴f′（t）=1-$\frac{4}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-4}{{t}^{2}}$，
当f′（t）＞0，解得t＞2或t＜-2，
当f′（t）＜0，解得-2＜t＜2，
∵0＜t＜2，
∴函数f（t）在（0，2）上单调递减，
∴f（2）＜f（t）＜f（0），
∴4＜f（t）＜+∞，
∴4＜m＜+∞，
故m的取值范围为（4，+∞）．

点评 本题考查了导数和函数的单调性质的关系，以及参数的取值范围，分离参数，求导，判断单调性是关键，属于中档题．