Question

已知a≠b且a²sinθ+acosθ-1=0、b²sinθ+bcosθ-1=0，则连接（a，a²）、（b，b²）两点的直线与单位圆x²+y²=1的位置关系是（　　）

• A、相交
• B、相切
• C、相离
• D、不能确定

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：由

a2sinθ+acosθ-1=0 b2sinθ+bcosθ-1=0

，得

a+b=-cotθ ab=- 1 sinθ

．过M（a，a²）与N（b，b²）的直线方程为（a+b）x-y-ab=0．由此求出单位圆x²+y²=1的圆心（0，0）到直线MN的距离d=1，从而连接（a，a²）、（b，b²）两点的直线与单位圆x²+y²=1相切．

解答： 解：由

a2sinθ+acosθ-1=0 b2sinθ+bcosθ-1=0

，
得

a+b=-cotθ ab=- 1 sinθ

．
过M（a，a²）与N（b，b²）的直线方程为

y-b2

a2-b2

=

x-b

a-b

，
整理得（a+b）x-y-ab=0．
∴单位圆x²+y²=1的圆心（0，0）到直线MN的距离：
d=

|ab|

(a+b)2+1

=

| 1 sinθ |

(-cotθ)2+1

=1．
∴连接（a，a²）、（b，b²）两点的直线与单位圆x²+y²=1相切．
故选：B．

点评：本题考查直线与单位圆的位置关系的判断，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．