Question

已知函数f(x)=x³-（2a+1）x²+3a（a+2）x+1，a∈R。
（1）当a=0时，求曲线y=f(x)在点（3，f(3)）处的切线方程；
（2）当a=-1时，求函数y=f(x)在[0，4]上的最大值和最小值；
（3）当函数y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零点时，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=0时，，∴f(3)=1，
∵，曲线在点（3，1）处的切线的斜率，
∴所求的切线方程为y-1=3（x-3），即y=3x-8。
（2）当a=-1时，函数，
∵，令f′(x)=0得，，
当x∈（0，1）时，f′(x)＜0，即函数y=f(x)在（0，1）上单调递减，
当x∈（1，4）时，f′(x)＞0，即函数y=f(x)在（1，4）上单调递增，
∴函数y=f(x)在[0，4]上有最小值，；
又，
∴当a=-1时，函数y=f(x)在[0，4]上的最大值和最小值分别为。
（3）∵，
∴，
①当时，3a=a+2，解得a=1，这时，
函数y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零点，故a=1为所求；
②当时，即，这时，
又函数y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零点，
∴；
③当时，即a＜1，这时，
又函数y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零点，
∴，
综上得当函数y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零点时，或或a=1。