Question

设f(x)是定义在D上的函数，若对D中的任意两数x₁，x₂(x₁≠x₂)，恒有，则称f(x)为定义在D上的C函数．

(1)试判断函数f(x)＝x²是否为定义域上的C函数，并说明理由；

(2)若函数f(x)是R上的奇函数，试证明f(x)不是R上的C函数；

(3)设f(x)是定义在D上的函数，若对任何实数a∈(0，1)以及D中的任意两数x₁，x₂，恒有f(ax₁＋(1－a)x₂]≤af(x₁)＋(1－a)f(x₂)，则称f(x)为定义在D上的C函数．已知f(x)是R上的C函数，m是给定的正整数，设an＝f(n)，n，0，1，2，…，m，且a₀=0，a_m＝2m，记S_f＝a₁＋a₂＋…＋a_m对于满足条件的任意函数f(x)，试求S_f的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)是C函数，　　2分 　　证明如下：对任意实数()及，有． 　　即∴是C函数．　　4分 　　(2)假设是R上的C函数，取，则有． 　　是奇函数，∴，． 　　∴． 　　(＃)同理，取，可证．与(＃)式矛盾． 　　∴不是R上的C函数．　　9分 　　(3)对任意，取，，． 　　是R上的C函数，，且 　　∴．那么． 　　可证是C函数，且使得都成立，此时． 　　综上所述，的最大值为．　　14分