Question

7．已知不等式$\frac{{k{x^2}+kx+4}}{{{x^2}+x+1}}$＞1．
（1）若不等式对于任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若不等式对于任意x∈（0，1]恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先利用配方法化简不等式分母，再等价转化为对应一元二次不等式，化简后对k分类讨论，由条件和一元二次不等式恒成立问题，列出不等式组求出实数k的取值范围；
（2）由（1）化简不等式，由x∈（0，1]得x²+x＞0，分离出k后再化简右边，由x∈（0，1]求出右边的范围，根据恒成立求出实数k的取值范围．

解答 解：（1）∵x²+x+1=${（x+\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}$＞0，
∴$\frac{k{x}^{2}+kx+4}{{x}^{2}+x+1}＞1$ 等价于kx²+kx+4＞x²+x+1，
则（k-1）x²+（k-1）x+3＞0，
由题意得，（k-1）x²+（k-1）x+3＞0对于任意x∈R恒成立，
当k-1=0即k=1时，不等式为3＞0，成立；
当k-1≠0即k≠1时，$\left\{\begin{array}{l}{k-1＞0}\\{△=（k-1）^{2}-12（k-1）＜0}\end{array}\right.$，
解得1＜k＜13，
综上所述：实数k的取值范围是[1，13）；
（2）由（1）可知，k（x²+x）＞x²+x-3，
由x∈（0，1]得，x²+x＞0，
∵不等式对于任意x∈（0，1]恒成立，
∴$k＞\frac{{x}^{2}+x-3}{{x}^{2}+x}$=$1-\frac{3}{{x}^{2}+x}$对于任意x∈（0，1]恒成立，
设y=x²+x，由x∈（0，1]得y∈（0，2]，
∴$\frac{3}{2}≤\frac{3}{{x}^{2}+x}$，则$1-\frac{3}{{x}^{2}+x}≤-\frac{1}{2}$，则k＞$-\frac{1}{2}$，
即实数k的取值范围是（$-\frac{1}{2}，+∞$）．

点评 本题考查了分式不等式的转化问题，一元二次不等式解法，以及恒成立的转化问题，考查转化思想，化简、变形能力．