Question

5．选择适当的方法证明
（1）$\sqrt{7}$+$\sqrt{13}$＜3+$\sqrt{11}$；
（2）已知a，b，c＞0，求证：a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）≥6abc．

Answer 1

分析 （1）两边平方，使用分析法逐步找出使不等式成立的条件；
（2）使用基本不等式得出结论．

解答 证明：（1）欲证$\sqrt{7}$+$\sqrt{13}$＜3+$\sqrt{11}$，
只需证（$\sqrt{7}$+$\sqrt{13}$）²＜（3+$\sqrt{11}$）²，即20+2$\sqrt{91}$＜20+6$\sqrt{11}$．
只需证$\sqrt{91}$＜3$\sqrt{11}$，即证$\sqrt{91}$$＜\sqrt{99}$．
只需证91＜99．
显然91＜99恒成立，
∴$\sqrt{7}$+$\sqrt{13}$＜3+$\sqrt{11}$．
（2）∵b²+c²≥2bc，a＞0，∴a（b²+c²）≥2abc．
同理可得：b（c²+a²）≥2abc，c（a²+b²）≥2abc，
∴a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）≥6abc．

点评 本题考查了不等式的证明方法，根据式子特点合理选择证明方法，属于基础题．