Question

17．圆心在抛物线x²=2y上且与直线2x+2y-3=0相切的圆中，面积最小的圆的方程为$（x+1）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=2．

Answer 1

分析 由题意，设圆心为（a，$\frac{1}{2}$a²），据点到直线的距离公式将半径r表示为关于a的函数，利用二次函数的性质算出当a=-1时半径r的最小值等于$\sqrt{2}$，由此即可得到所求面积最小的圆的方程．

解答 解：∵圆心在抛物线x²=2y上，∴可设圆心为（a，$\frac{1}{2}$a²），
又∵直线2x+2y-3=0与圆相切，
∴圆心到直线2x+2y-3=0的距离等于半径r，
即r=$\frac{|2a+{a}^{2}-3|}{\sqrt{4+4}}$=$\frac{|（a+1）^{2}-4|}{2\sqrt{2}}$≥$\frac{4}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
可得当a=-1时，半径r最小，
∴所有的圆中，面积最小圆的半径r=$\sqrt{2}$，此时圆的圆心坐标为（-1，$\frac{1}{2}$）．
因此，所求圆的方程为$（x+1）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=2．
故答案为：$（x+1）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=2．

点评 本题给出圆心在抛物线上的圆，求当圆与定直线相切时圆的方程．着重考查了圆的标准方程、直线与的位置关系、二次函数的性质和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．