Question

7．若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夹角为$\frac{π}{3}$的单位向量，且向量$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
（1）若向量$\overrightarrow{c}$=k$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，问$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$能否共线，为什么？
（2）若$\overrightarrow{c}$=k$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$且$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$垂直，求k；
（3）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据向量共线的等价条件建立方程关系进行求解判断，
（2）根据向量垂直的等价条件进行判断，
（3）根据向量数量积的应用求向量夹角即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夹角为$\frac{π}{3}$的单位向量，
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=|$\overrightarrow{{e}_{1}}$||$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cos$\frac{π}{3}$=1×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
（1）若向量$\overrightarrow{c}$=k$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
若$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$共线，
则$\overrightarrow{c}$=m$\overrightarrow{b}$，即k$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$=m（-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{k=-3m}\\{-2=2m}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{k=3}\end{array}\right.$，即当k=3时，$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$能共线，当k≠3是，$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$不能共线．
（2）若$\overrightarrow{c}$=k$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$且$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$垂直，
则$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=（k$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0，
即2k$\overrightarrow{{e}_{1}}$²-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$²+（k-4）$\overrightarrow{{e}_{1}}$′$\overrightarrow{{e}_{2}}$=0
即2k-2+（k-4）×$\frac{1}{2}$=0．
得k=$\frac{8}{5}$；
（3）|$\overrightarrow{a}$|²=4$\overrightarrow{{e}_{1}}$²+$\overrightarrow{{e}_{2}}$²+4$\overrightarrow{{e}_{1}}$′$\overrightarrow{{e}_{2}}$=4+1+4×$\frac{1}{2}$=7，
|$\overrightarrow{b}$|²=9$\overrightarrow{{e}_{1}}$²+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$²-12$\overrightarrow{{e}_{1}}$′$\overrightarrow{{e}_{2}}$=9+4-12×$\frac{1}{2}$=7，
即|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=-6$\overrightarrow{{e}_{1}}$²+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$²+$\overrightarrow{{e}_{1}}$′$\overrightarrow{{e}_{2}}$=-6+4-$\frac{1}{2}$=$-\frac{5}{2}$，
则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-\frac{5}{2}}{\sqrt{7}×\sqrt{7}}$=-$\frac{5}{14}$．

点评 本题主要考查向量共线，向量垂直以及向量数量积的应用，综合性考查向量的性质和应用．