Question

16．小明在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个，甲、乙、丙每人每次抢到红包的概率均为$\frac{1}{3}$．
（1）若小明发放1元的红包2个，求甲最多抢到1个红包的概率；
（2）若小明共发放3个红包，第一次发放5元，第二次发放5元，第三次发放10元，记甲抢到红包的总金额为ζ元，求ζ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）若小明发放1元的红包2个，利用互斥事件的概率公式求甲最多抢到1个红包的概率；
（2）由题意知X的所有可能取值为0，5，10，15，20，由事件的独立性和互斥性，分别求出相应的概率，由此能求出ζ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）设“甲最多抢到一个红包”为事件A，则P（A）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{8}{9}$；
（2）ζ的所有可能值为0，5，10，15，20．
P（ζ=0）=$（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$；P（ζ=5）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{27}$；P（ζ=10）=$（\frac{1}{3}）^{2}×\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{6}{27}$；
P（ζ=15）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{27}$，P（ζ=20）=$（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{27}$，故ζ的分布列：

ζ	0	5	10	15	20
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{1}{27}$

期望Eζ=0×$\frac{8}{27}$+5×$\frac{8}{27}$+10×$\frac{6}{27}$+15×$\frac{4}{27}$+20×$\frac{1}{27}$=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意事件的独立性和互斥性的合理运用．