Question

9．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，以线段F₁F₂为边作正三角形MF₁F₂，若MF₁的中点在双曲线上，则$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． 3+2$\sqrt{3}$
• D． 4+2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点M的坐标可得，进而求得其中点N的坐标，代入双曲线方程求得a，b和c的关系式化简整理求得关于e的方程求得e．

解答 解：依题意可知双曲线的焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0）
∴F₁F₂=2c
∴三角形高是$\sqrt{3}$c
M（0，$\sqrt{3}$c）
所以中点N（-$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c）
代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，整理得：b²c²-3a²c²=4a²b²
∵c²=b²+a²
所以b⁴-6a²b²-3a⁴=0，
整理得（$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$）²-6×$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$-3=0．
求得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$3+2\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线的基础知识的把握．分析问题解决问题的能力．