Question

设直线l₁：y=2x与直线l₂：x+y=3交于P点．
（1）当直线l过P点，且与直线l₀：2x+y=0平行时，求直线l的方程．
（2）当直线l过P点，且原点O到直线l的距离为1时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：先求出两直线的交点p的坐标
（1）先求与直线2x+y=0平行的直线的斜率，再根据其过点（1，2），用点斜式求直线方程．
（2）考虑两种情况：（1）斜率不存在即所求直线与y轴平行时，容易直线的方程；（2）斜率存在时，设出直线的斜截式，然后利用点到直线的距离公式列出原点到直线l的距离的方程，求出斜率k即可得到方程．

解答：解：直线l₁：y=2x与直线l₂：x+y=3交点p（1，2）
（1）∵直线2x+y=0的斜率k=-2，
∴所求直线斜率k′=-2．
故过点（1，2）且与已知直线平行的直线为y-2=-2（x-1），
即2x+y-4=0．
（2）解：当过点A（1，2）的直线与x轴垂直时，
则点A（1，2）到原点的距离为1，所以x=1为所求直线方程．
当过点A（1，2）且与x轴不垂直时，可设所求直线方程为y-2=k（x-1），
即：kx-y-k+2=0，由题意有

|-k+2|

k2+1

=1，解得 k=

3

4

，
故所求的直线方程为 y-2=

3

4

(x-1)，即3x-4y+5=0．
综上，所求直线方程为x=1或3x-4y+5=0．

点评：本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，（2）问学生做题时容易少一种斜率不存在的情况，要求学生考虑问题要全面．应用分类讨论的数学思想解决数学问题．是基础题．