Question

5．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₅=-5，S₁₀=5，数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n项和为$\frac{3}{20}$n²-$\frac{47}{20}$n．

Answer 1

分析 由已知式子和等差数列的求和公式可得a₁和d，进而可得Sn，可得$\frac{{S}_{n}}{n}$，可判数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}为等差数列，由等差数列的求和公式可得．

解答 解：∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₅=-5，S₁₀=5，
∴S₅=5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=-5，S₁₀=10a₁+$\frac{10×9}{2}$d=5，其中d为公差，
联立解得a₁=-$\frac{11}{5}$，d=$\frac{3}{5}$，
∴Sn=-$\frac{11}{5}$n+$\frac{n（n-1）}{2}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{1}{10}$（3n²-25n），
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{10}$（3n-25），
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}为首项为-$\frac{11}{5}$为首项的等差数列，
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n项和为$\frac{n（-\frac{11}{5}+\frac{3n}{10}-\frac{5}{2}）}{2}$=$\frac{3}{20}$n²-$\frac{47}{20}$n
故答案为：$\frac{3}{20}$n²-$\frac{47}{20}$n

点评 本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的判定，属中档题．