Question

20．数列{a_n}的前n项和为s_n，a₁=t，点（s_n，a_n+1）在直线y=3x+1上．当实数t为何值时，数列{a_n}是等比数列？

Answer 1

分析 通过将点（s_n，a_n+1）代入直线y=3x+1，整理并与a_n=3S_n-1+1（n≥2）作差，整理可知a_n+1=4a_n，进而利用$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3t+1}{t}$=4，计算即得结论．

解答 解：∵点（s_n，a_n+1）在直线y=3x+1上，
∴a_n+1=3S_n+1，
∴当n≥2时，a_n=3S_n-1+1，
两式相减得：a_n+1-a_n=3a_n，
整理得：a_n+1=4a_n，
当n=1时，a₂=3a₁+1=3t+1，
又∵数列{a_n}是等比数列，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3t+1}{t}$=4，即t=1，
∴当t=1时，数列{a_n}是等比数列．

点评 本题考查等比数列的判定，注意解题方法的积累，属于基础题．