Question

2．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一个焦点与抛物线${y^2}=4\sqrt{2}x$的焦点重合，连接该椭圆的四个顶点所得四边形的面积为$2\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同两点M、N，设椭圆C位于y轴负半轴上的短轴端点为A，若三角形AMN是以线段MN为底边的等腰三角形，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点坐标，利用面积求解a，b，即可得到椭圆的方程．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x2}{3}+y2=1\end{array}$得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，l利用△＞0，推出m²＜3k²+1，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），弦MN的中点为P（x₀，y₀），通过韦达定理，求出k_AP，通过AP⊥MN，推出-$\frac{m+3k2+1}{3mk}$=-$\frac{1}{k}$，然后求解m的取值范围．

解答 解：（1）抛物线${y^2}=4\sqrt{2}x$的焦点为$（\sqrt{2}，0）$，…（1分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{2}}\\{\frac{1}{2}×2a•2b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{b=1}\end{array}}\right.$
故所求椭圆C的方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$…（4分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
△=（6mk）²-4（3k²+1）（3m²-3）＞0，得m²＜3k²+1，①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），弦MN的中点为P（x₀，y₀），
则x₁+x₂=-$\frac{6mk}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3（{m}^{2}-1）}{3{k}^{2}+1}$，
则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3mk}{3{k}^{2}+1}$，y₀=kx₀+m=$\frac{m}{3{k}^{2}+1}$，…（8分）
所以k_AP=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$=-$\frac{m+3{k}^{2}+1}{3mk}$
∵三角形AMN是以线段MN为底边的等腰三角形，∴AP⊥MN，
则-$\frac{m+3{k}^{2}+1}{3mk}$=-$\frac{1}{k}$，…（10分）
得2m=3k²+1，代入①得m²＜2m，求得0＜m＜2．
又k²=$\frac{2m-1}{3}$＞0，得m＞$\frac{1}{2}$，从而$\frac{1}{2}$＜m＜2，
故m的取值范围是$（\frac{1}{2}，2）$…（12分）．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，参数求值范围问题，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，考查计算能力．