Question

15．如图，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的右顶点为A，左右焦点分别为F₁，F₂，点p是双曲线右支上一点，PF₁交左支于点Q，交渐近线y=$\frac{b}{a}$x于点R，M是PQ的中点，若RF₂⊥PF₁，且AM⊥PF₁，则双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 设PF₁的方程为y=k（x+c），k＞0，联立渐近线方程求得R的坐标，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，求得k=$\frac{c-a}{b}$，代入化简整理，再由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设PF₁的方程为y=k（x+c），k＞0，
联立渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x，可得R（$\frac{ack}{b-ka}$，$\frac{bck}{b-ka}$），
由直线y=k（x+c）代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得
（b²-a²k²）x²-2ca²k²x-a²c²k²-a²b²=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得x₁+x₂=$\frac{2c{a}^{2}{k}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}$，
即有中点M（$\frac{c{a}^{2}{k}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}$，$\frac{c{b}^{2}k}{{b}^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}$），
由A（a，0），F₂（c，0），
RF₂⊥PF₁，可得${k}_{R{F}_{2}}$=$\frac{bck}{2ack-bc}$=-$\frac{1}{k}$，
即有bk²+2ak-b=0，解得k=$\frac{c-a}{b}$（负的舍去），
由AM⊥PF₁，可得k_AM=$\frac{c{b}^{2}k}{c{a}^{2}{k}^{2}-a{b}^{2}+{a}^{3}{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$，
即为（c³+a³）k²=a（c²-a²），
即有（c³+a³）（c-a）²=ab²（c²-a²）=a（c²-a²）²，
化为c=2a，即e=$\frac{c}{a}$=2．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，以及联立直线方程和双曲线方程，由韦达定理和中点坐标公式，直线的斜率公式以及两直线垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．