Question

7．设双曲线两焦点分别为F₁（0，c），F₂（0，-c）（c＞0），双曲线一个顶点A（0，a），在x轴上有一点P（1，0），|AP|=$\sqrt{2}$，∠F₁PA=15°，过点R（0，-2）斜率为k的直线交双曲线的下支于M，N两点，若点Q（0，2）在以MN为直径的圆外，则实数k的取值范围是（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 由P（1，0），|AP|=$\sqrt{2}$，可得a=1，又∠F₁PA=15°，可得∠F₁PO=60°，运用正切函数的定义可得c，求得b，进而得到双曲线的方程，设出直线MN的方程y=kx-2，代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，结合点在圆外的条件：d＞r，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：由P（1，0），|AP|=$\sqrt{2}$，可得a=1，
又∠F₁PA=15°，可得∠F₁PO=60°，
即有c=|OP|tan60°=$\sqrt{3}$，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有双曲线的方程为y²-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1．
设直线MN的方程为y=kx-2，
代入双曲线的方程，可得（2k²-1）x²-8kx+6=0，
判别式为64k²-24（2k²-1）＞0恒成立，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$\frac{8k}{2{k}^{2}-1}$，x₁x₂=$\frac{6}{2{k}^{2}-1}$＜0，①
弦长MN=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{2}}{（2{k}^{2}-1）^{2}}-\frac{24}{2{k}^{2}-1}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{16{k}^{2}+24}}{|2{k}^{2}-1|}$，
可得MN的中点H为（$\frac{4k}{2{k}^{2}-1}$，$\frac{2}{2{k}^{2}-1}$），
由点Q（0，2）在以MN为直径的圆外，可得
|HQ|＞$\frac{1}{2}$|MN|，即为$\frac{16{k}^{2}}{（2{k}^{2}-1）^{2}}$+（$\frac{4-4{k}^{2}}{2{k}^{2}-1}$）²＞$\frac{1}{4}$（1+k²）（$\frac{16{k}^{2}+24}{（2{k}^{2}-1）^{2}}$），
化简可得6k⁴-13k²+5＞0，
解得k²＞$\frac{5}{3}$或k²＜$\frac{1}{2}$，
由①可得k²＜$\frac{1}{2}$，解得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用三角函数的定义，考查直线和双曲线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，同时考查点与圆的位置关系的判断和运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．