Question

已知函数f（x）=2^x-

1

2x

．
（1）若f（x）=2+

2

2x

，求x的值；
（2）判断f（x）的单调性，并证明；
（3）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于任意实数t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得 2^x-

1

2x

=2+

2

2x

，即 2^2x -2•2^x-3=0，解得 2^x 的值，可得x的值．
（2）函数f（x）的定义域为R，任意取x₂＞x₁，化简f（x₂）-f（x₁）的解析式，可得它的符号为正号，
即 f（x₂）＞f（x₁），可得函数f（x）在R上是增函数．
（3）当t∈[1，2]，由题意可得m≥-（4^t+1）．求得-（4^t+1）的最大值为-5，从而求得m的范围．

解答：解：（1）∵f（x）=2^x-

1

2x

=2+

2

2x

，∴2^2x -2•2^x-3=0，解得 2^x=3，或 2^x=-1 （舍去），
故 x=log₂3．
（2）函数f（x）的定义域为R，任意取x₂＞x₁，则 f（x₂）-f（x₁）=2x2-

1

2x2

-（2x1-

1

2x1

）=（2x2-2x1）（1+

1

2x2•2x1

）．
由题设可得，（2x2-2x1）＞0，（1+

1

2x2•2x1

）＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即 f（x₂）＞f（x₁），
故函数f（x）在R上是增函数．
（3）当t∈[1，2]，2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，即2^t（2^2t-

1

22t

）+m（2^t-

1

2t

）≥0．
由于2t-

1

2t

＞0，∴2^t（2^t+

1

2t

）+m≥0，故 m≥-（4^t+1）．
由于-（4^t+1）的最大值为-5，故有m≥-5，即m的范围是[-5，+∞）．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的恒成立问题，属于中档题．