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已知函数是自然对数的底数,).
(Ⅰ)求的单调区间、最大值;
(Ⅱ)讨论关于的方程根的个数。
解法一 (Ⅰ)的单调递增区间为,单调递减区间为

(Ⅱ)当时,函数的图象有两个交点,即方程有两个根.
时,函数的图象有一个交点,即方程有一个根.
显然当时,方程没有根.
(Ⅰ)
时,;当
所以的单调递增区间为,单调递减区间为

(Ⅱ)

通过图象可对进行讨论:
时,函数的图象有两个交点,即方程有两个根.
时,函数的图象有一个交点,即方程有一个根.
显然当时,方程没有根.
解法二 (Ⅰ)
,解得
时,单调递减
所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是
最大值为
(Ⅱ)令   
(1)当时,,则
所以,
因为 所以
因此上单调递增.
(2)当时,当时,,则
所以,
因为,又
所以 所以
因此上单调递减.
综合(1)(2)可知 当时,
,即时,没有零点,
故关于的方程根的个数为0;
,即时,只有一个零点,
故关于的方程根的个数为1;
,即时,
①当时,由(Ⅰ)知

要使,只需使,即
②当时,由(Ⅰ)知

要使,只需使,即
所以当时,有两个零点,故关于的方程根的个数为2;
综上所述:
时,关于的方程根的个数为0;
时,关于的方程根的个数为1;
时,关于的方程根的个数为2.
【考点定位】本题考查了函数的单调性、函数的最值等主干知识,考查了数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想的综合应用.第一问的研究为第二问进行数形结合铺平了“道路”,使的相对位置关系更明晰.
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