Question

已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=10，且对于任意x∈R都有f（x+20）≥f（x）+20，f（x+1）≤f（x）+1，若g（x）=f（x）-x+1，则g（10）=

10

．

Answer 1

分析：解决此题关键是要分析出f（x）或g（x）的性质，根据f（x+20）≥f（x）+20，f（x+1）≤f（x）+1，若g（x）=f（x）+1-x，不难得到g（x）是一个周期函数，且周期T=1，则只要根据f（1）=10，g（x）=f（x）+1-x求出g（1）就不难求出g（x）的其它函数值．

解答：解：由g（x）=f（x）+1-x知f（x）=g（x）+x-1，从而有
g（x+20）+（x+20）-1≥f（x+20）≥f（x）+20=g（x）+x-1+20
则g（x+20）≥g（x）
又由f（x+1）≤f（x）+1得g（x+1）+（x+1）-1≤g（x）+x-1+1⇒g（x+1）≤g（x）
则有：g（x）≤g（x+20）≤g（x+19）≤…≤g（x+1）≤g（x）
得g（x）=g（x+1），即g（x）是周期为1的周期函数，
又∵g（1）=f（1）+1-1=10
∴g（10）=10
故答案为 10

点评：对于抽象函数问题的处理，有两种思路，一是“凑”出题目中要求的值，二是分析函数性质根据函数的性质解题．若题干中出现：f（x+y）=f（x）•f（y）；f（x+y）=f（x）+f（y）；f（x•y）=f（x）•f（y）；f（x•y）=f（x）+f（y）类的条件时一般采用第一种思路，而本题中未出现这种情况，一般要采用第二种思路．