Question

13．若存在正实数t，使得函数f（x）在给定区间M上，对于任意x∈M，有x+t∈M，且f（x+t）≥f（x），则f（x）称为M上的t级类增函数，则下列命题正确的是（　　）

• A． 函数f（x）=$\frac{4}{x}$+x是（1，+∞）上的1级类增函数
• B． 函数f（x）=|log₂（x-1）|是（1，+∞）上的1级类增函数
• C． 若函数f（x）=x²-3x为[0，+∞）上的t级类增函数，则实数t的取值范围为[1，+∞）
• D． 若函数f（x）=sinx+ax为[$\frac{π}{2}$，+∞）上的$\frac{π}{3}$级类增函数，则整数a的最小值为1

Answer 1

分析 对于A，f（x+1）-f（x）=$\frac{{x}^{2}+x-4}{x（x+1）}≥$0在（1，+∞）上不恒成立，故A错误；对于B，f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|≥0在（1，+∞）上不恒成立，故B错误；对于C，由条件可知
，对任意x∈[0，+∞），有x+t∈[0，+∞），且f（x+t）≥f（x），即t≥3-2x在[0，+∞）上恒成立，再将恒成立问题转为求函数的最值可得t≥3，故C错误；对于D，由条件可知，对任意x∈[$\frac{π}{2}$，+∞），由f（x+$\frac{π}{3}$）≥f（x），即$\frac{π}{3}a≥sin（x-\frac{π}{3}）$，而sin（x-$\frac{π}{3}$）≤1，从而a$≥\frac{3}{π}$，则最小整数值为1，故D正确．

解答 解：对于选项A：当x∈（1，2）时，f（x+1）-f（x）=$\frac{4}{x+1}+（x+1）-\frac{4}{x}-x$=$\frac{{x}^{2}+x-4}{x（x+1）}$＜0，即f（x+1）≥f（x）在（1，+∞）上不恒成立，故A错误；
对于选项B：f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|，当x=$\frac{3}{2}$时，f（x+1）-f（x）=$lo{g}_{2}\frac{3}{2}-|lo{g}_{2}\frac{1}{2}|=lo{g}_{2}\frac{3}{2}-1$＜0，即f（x+1）≥f（x）在（1，+∞）上不恒成立，故B错误；
对于选项C：∵函数f（x）=x²-3x为[0，+∞）上的t级类增函数，
∴对任意x∈[0，+∞），有x+t∈[0，+∞），且f（x+t）≥f（x），即（x+t）²-3（x+t）≥x²-3x，
∴对任意x∈[0，+∞），2tx+t²-3t≥0，即t≥3-2x
∵3-2x≤3，∴t≥3，即t的取值范围为[3，+∞）．故C错误；
对于选项D：∵函数f（x）=sinx+ax为[$\frac{π}{2}$，+∞）上的$\frac{π}{3}$级类增函数，
∴对任意x∈[$\frac{π}{2}$，+∞），由f（x+$\frac{π}{3}$）≥f（x），即sin（x+$\frac{π}{3}$）+a（x+$\frac{π}{3}$）≥sinx+ax，
∴$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+ax+$\frac{π}{3}$a≥sinx+ax，即$\frac{π}{3}a$$≥\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx
∵$\frac{1}{2}sinx-\frac{\sqrt{3}}{2}cosx=sin（x-\frac{π}{3}）$≤1
∴$\frac{π}{3}a≥1$，即a$≥\frac{3}{π}$
∴整数a的最小值为1，故D正确．
故选：D

点评 本题考查命题的真假判断，考查新定义，同时考查函数的性质及应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．