Question

已知函数f（x）=x|x-a|+2x，若存在a∈[-3，3]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；当a∈（2，3]时和当a∈[-3，-2）时，等价转化f（x）的表达式，利用函数的单调性能得到实数t的取值范围．

解答： 解：当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，
则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根，
则当a∈（2，3]时，由f（x）=

x2+(2-a)x，x≥a -x2+(2+a)x，x＜a

，
得x≥a时，f（x）=x²+（2-a）x，对称轴x=

a-2

2

＜a，
则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），
x＜a时，f（x）=-x²+（2+a）x，对称轴x=

a+2

2

＜a，
则f（x）在x∈（-∞，

a+2

2

]为增函数，此时f（x）的值域(-∞，

(a+2)2

4

]．
f（x）在x∈[

a+2

2

，a)上为减函数，此时f（x）的值域为（2a，

(a+2)2

4

]；
f（x）在[

a+2

2

，a)为减函数，此时f（x）的值域为(2a，

(a+2)2

4

]；
由存在a∈（2，3]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，
则2ta∈（2a，

(a+2)2

4

），
即存在a∈（2，3]，使得t∈(1，

(a+2)2

8a

)即可．
令g（a）=

(a+2)2

8a

=

1

8

(a+

4

a

+4)，
由题意，只需t＜g（a）_max即可，而g（a）在a∈（2，3]上是增函数，
所以g（a）_max=g（3）=

25

24

；故实数t的取值范围是（1，

25

24

），
同理可求当a∈[-3，-2）时，t的取值范围是（1，

25

24

）．
综上可知，实数t的取值范围是（1，

25

24

）．
故答案为（1，

25

24

）

点评：本题考查函数恒成立问题的应用，考查运算求解能力，推理论证能力，考查转化与化归，分类讨论思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对能力要求较高．