Question

19．求下列各条件下二次函数的表达式：
（1）函数最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，且经过点（3，-1）；
（2）图象的顶点为（1，15），且与x轴两个交点之间的距离为6；
（3）图象的顶点为（1，15），它与x轴交于两点（x₁，0）和（x₂，0），且x${\;}_{1}^{3}$+x${\;}_{2}^{3}$=32．

Answer 1

分析 （1）由二次函数表达式的顶点式和过定点问题得到答案．
（2）由二次函数表达式的顶点式和与x轴交点距离问题得到答案．
（3）由二次函数表达式的顶点式和两根的韦达定理得到答案．

解答 解：（1）∵函数最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，
∴函数的定点坐标是（1，2），
由二次函数解析式的顶点式得y=a（x-1）²+2，
∵经过点（3，-1），
∴a=-$\frac{3}{4}$，
∴二次函数表达式是y=-$\frac{3}{4}$（x-1）²+2，
（2）∵图象的顶点为（1，15），
∴由二次函数解析式的顶点式得y=a（x-1）²+15，
∵与x轴两个交点之间的距离为6，
∴$\sqrt{△}$=6，
∴a=-6，
由二次函数解析式的顶点式得y=-6（x-1）²+15．
（3）∵图象的顶点为（1，15），
∴由二次函数解析式的顶点式得y=a（x-1）²+15，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=$\frac{a+15}{a}$
∴x${\;}_{1}^{3}$+x${\;}_{2}^{3}$=（x₁+x₂）³-3（x₁+x₂）x₁•x₂=32
∴a=-3
∴由二次函数解析式的顶点式得y=-3（x-1）²+15．

点评 本题考查1）由二次函数表达式的顶点式和过定点问题，与x轴交点距离问题，两根的韦达定理．