Question

【题目】设函数f（x）=2ax﹣ +lnx，若f（x）在x=1，x= 处取得极值， （Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）在[ ，2]上的单调区间
（Ⅲ）在[ ，2]存在x0 ， 使得不等式f（x0）﹣c≤0成立，求c的最小值．
（参考数据：e2≈7.389，e3≈20.08）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2ax﹣ +lnx， ∴f′（x）=2a﹣ + ，x＞0，
∵若f（x）在x=1，x= 处取得极值，
∴f′（1）=0，f′（ ）=0，即2a﹣b+1=0，2a﹣4b+2=0，
解得a=﹣ ，b= ；
（Ⅱ）f′（x）= ，x＞0，
∵f′（x）= ＞0，
∴ ，
∵f′（x）= ＜0， ＜x＜2
∴ ＜x ，1＜x＜2，
∴单调递增区间（ ，1），递减区间（ ， ），（1，2）；
（Ⅲ）f（x）=﹣ x- +lnx，
f（ ）=﹣ ﹣ln2，f（2）=﹣ +ln2，f（ ）=﹣1﹣ln2
f（1）=﹣1，
f（x）在[ ，2]上的最大值为：﹣ +ln2，
最小值为：﹣1﹣ln2
∵在[ ，2]存在x0 ， 使得不等式f（x0）﹣c≤0成立，
∴c≥f（x）min ， c≥﹣1﹣ln2
c的最小值为：﹣1﹣ln2
【解析】（Ⅰ）利用存在极值的条件得出f′（1）=0，f′（ ）=0，求解．（Ⅱ）利用导数与单调性的关系f′（x）= ＞0，f′（x）= ＜0， ＜x＜2求解得出区间，（Ⅲ）利用导数求解最大值，最小值，根据在[ ，2]存在x0 ， 使得不等式f（x0）﹣c≤0成立，c≥f（x）min ， 求解即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．