Question

设x₁，x₂是函数f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2-a2x(a＞0)的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2．
（1）用a表示b²，并求出a的取值范围．
（2）证明：|b|≤

4 3

9

．
（3）若函数h（x）=f′（x）-2a（x-x₁），证明：当x₁＜x＜2且x₁＜0时，|h（x）|≤4a．

Answer 1

分析：（1）借助条件：“|x₁|+|x₂|=2”由此入手建立b²=4a²-4a³，再由x₁，x₂是f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2-a2x(a＞0)的两个极值点，知x₁，x₂是f′（x）=ax²+bx-a²的两个根，从而能够求出a的取值范围．
（2）由（1）知b²=（4-4a）a²，令g（a）=4a²-4a³，得到g′（x）=8 a-12a²利用导数研究其单调性和最大值，由此能够证明|b|≤

4 3

9

．
（3）h（x）=f′（x）-2a（x-x₁）=a（x-x₁）（x-x₂-2），由x-x₁＞0，x₁x₂=-a＜0，x₁＜0，知x₂＞0，x＜2，x-x₂-2＜0，由此结合基本不等式能够证明|g（x）|≤4a．

解答：解：（1）∵f （x ）=

a

3

x³+

b

2

x²-a² x，
∴f′（x ）=a x²+bx-a² …（1分）
∵x₁，x₂是f （x ）的两个极值点，
∴x₁，x₂是方程a x²+bx-a²=0的两个实根（2分）
∵a＞0，∴x₁x₂=-a＜0，x₁+x₂=-

b

a

，
由条件|x₁|+|x₂|=2平方，可得x₁²+x₂²+2|x₁x₂|=4，
即（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=4，
∴

b2

a2

-2(-a)+2a=4，
∴b²=4a²-4a³ …（4分）
∵b²≥0，∴4a²-4a³≥0，
∴0＜a≤1…（5分）
（2）∵b²=4a²-4a³ （0＜a≤1），令g（a）=4a²-4a³，∴g'（a ）=8 a-12a²…（6分）
由g'（a）＞0，得0＜a＜

2

3

，由g'（a）＜0，得

2

3

＜a≤1．
∴g（a）在（0，

2

3

）上递增，在（

2

3

，1）上递减．…（8分）
∴g（a）在（0，1）上的最大值是g（

2

3

）=

16

27

．
∴g（a）≤

16

27

．
∴b²≤

16

27

．
∴|b|≤

4 3

9

…（10分）
（3）∵x₁，x₂是方程a x²+bx-a²=0的两个实根，
∴f^′（x）=a（x-x₁）（x-x₂）．
∴h（x）=a（x-x₁）（x-x₂）-2a（x-x₁）=a（x-x₁）（x-x₂-2）…（11分）
∴|h（x）|=a|x-x₁||x-x₂-2|≤a(

|x-x1 |+|x-x2-2 |

2

)2…（12分）
∵x＞x₁，∴x-x₁＞0．
又∵x₁＜0，∴x₁ x₂＜0，∴x₂＞0．∴x₂+2＞2．
又∵x＜2，∴x-x₂-2＜0 …（13分）
∴|h（x ）|≤a(

x-x1+x2+2-x

2

)2=a(

x2-x1+2

2

)2．
又∵|x₁|+|x₂|=2，且x₁＜0，x₂＞0，∴x₂-x₁=2．
将其代入上式得|h（x ）|≤4a．…（14分）

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件、导数在最大值、最小值中的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．