Question

15．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x+1．
（1）若tanα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求函数值f（a）；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求函数值f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简可得f（α）=$\sqrt{3}×$$\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$+$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$+2，代入tanα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$计算即可得解．
（2）化简还是解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可求2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质即可求得f（x）的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x+1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+2，tanα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（α）=$\sqrt{3}$sin2α+cos2α+2=$\sqrt{3}×$$\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$+$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$+2=$\sqrt{3}×$$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$+$\frac{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}{1+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$+2=$\frac{27}{7}$；
（2）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+2=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2∈[1，4]．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，同角三角函数基本关系的运用，考查了计算求解能力，熟练掌握三角函数的相关公式是解题的关键，属于基础题．