Question

设y=log_a

x-2

x+1

（a＞0，a≠1）的定义域为[s，t），值域为（log_a（at-a），log_a（as-a）]，
（1）求证：s＞2；
（2）求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据对数函数真数部分必为正，可得使y=log_a

x-2

x+1

的解析式有意义的x的范围，结合已知中函数的定义域，可得[s，t）?（-∞，-1）∪（2，+∞），结合函数值域端点中对数式有意义可得[s，t）?（2，+∞），进而证得答案．
（2）根据（1）中结论，可分析出函数的单调性，进而判断出底数的取值范围，进而根据函数的定义域为值域构造出方程组，将其转化为整式方程组后，构造函数，利用二次函数的图象和性质可得答案．

解答：证明：（1）要使y=log_a

x-2

x+1

的解析式有意义，
则

x-2

x+1

＞0，即x＜-1，或x＞2
∴[s，t）?（-∞，-1）∪（2，+∞）
又由as-a=a（s-1）＞0，可得s-1＞0，即s＞1
∴[s，t）?（2，+∞）
∴s＞2；
解：（2）∵s＜t
∴at-a＞as-a
又∵log_a（at-a）＜log_a（as-a），
∴0＜a＜1
又∵u=

x-2

x+1

在[s，t）上单调递增
∴y=log_a

x-2

x+1

在[s，t）上单调递减
∴

t-2 t+1 =at-a s-2 s+1 =as-a

即方程

x-2

x+1

=ax-a有两个大于2的相异的根
即ax²-x+2-a=0有两个大于2的相异的根
令h（x）=ax²-x+2-a
则

0＜a＜1 △=1-4a(2-a)＞0 h(2)=3a＞0 1 2a ＞2

解得0＜a＜

2- 3

2

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，复合函数的单调性，方程根与函数零点的关系，二次函数的图象和性质，是函数问题比较综合的应用．