Question

在四边形ABCD中，若BC=a，DC=2a，四个角的度数之比为3：7：4：10，求AB的长．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：根据题意画出图形，由四边形内角和定理及四角之比求出各内角，在三角形BCD中，利用余弦定理求出BD的长，确定出三角形BCD为直角三角形，进而确定出三角形ABD为等腰直角三角形，即AB=

2

BD，即可求出AB的长．

解答： 解：∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，四个角的度数之比为3：7：4：10，
∴∠A=45°，∠ABC=105°，∠C=60°，∠ADC=150°，
在△BCD中，BC=a，CD=2a，
由余弦定理得：BD²=a²+4a²-2•a•2a•

1

2

=3a²，即BD=

3

a，
∴△BCD为直角三角形，∠DBC=90°，∠BDC=30°，
在△ABD中，∠A=45°，∠ADB=90°，
∴△ABD为等腰直角三角形，即AD=BD=

2

2

AB，
则AB=

2

BD=

6

a．

点评：此题考查了余弦定理，以及解直角三角形，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．