【题目】如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB⊥侧面BB1C1C,AB=BC=1,BB1=2,∠BCC1= .
(1)求证:C1B⊥平面ABC;
设 (0≤λ≤1),且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°,
试求λ的值.
【答案】(1)见解析(2)1
【解析】试题分析:(1)先由线面垂直的性质证明,再根据余玄定理及勾股定理证明
,利用直线与平面垂直的判断定理证明
平面
;(2)通过
两两垂直.以
为原点,
所在直线
轴建立空间直角坐标系.求出相关点的坐标,求出平面
的一个法向量,平面BB1E的一个法向量,通过向量的数量积,推出
的方程,求解即可.
试题解析:(1)证明:因为AB⊥侧面BB1C1C,BC1侧面BB1C1C,故AB⊥BC1.
在△BCC1中,BC=1,CC1=BB1=2,∠BCC1=,
BC=BC2+CC-2BC·CC1·cos∠BCC1=12+22-2×1×2×cos=3.
所以BC1=,故BC2+BC=CC,所以BC⊥BC1,
而BC∩AB=B 所以C1B⊥平面ABC.
(2)由(1)可知,AB,BC,BC1两两垂直.以B为原点,BC,BA,BC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
则B(0,0,0),A(0,1,0),B1(-1,0,),C(1,0,0),C1(0,0,
).
所以=(-1,0,),所以=(-λ,0,
λ
λ).
则=(1-λ,-1,λ),=(-1,-1,
).
设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z),
则即
令z=,则x=
,y=
,
故n=是平面AB1E的一个法向量.
因为AB⊥平面BB1C1C,所以=(0,1,0)是平面BB1E的一个法向量,
所以|cos〈n,〉|=
=
=.
两边平方并化简得2λ2-5λ+3=0,所以λ=1或λ= (舍去).
故所求λ的值为1
【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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【题目】设函数在区间
上单调递增;
函数
在其定义域上存在极值.
(1)若为真命题,求实数
的取值范围;
(2)如果“或
”为真命题,“
且
”为假命题,求实数
的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=lnx,g(x)=0.5x2-bx, (b为常数)。
(1)函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与函数g(x)的图象相切,求实数b的值;
(2)若函数h(x)=f(x)+g(x)在定义域上不单调,求实数b的取值范围;
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【题目】如图,抛物线的焦点为
,抛物线上一定点
.
(1)求抛物线的方程及准线
的方程;
(2)过焦点的直线(不经过
点)与抛物线交于
两点,与准线
交于点
,记
的斜率分别为
,问是否存在常数
,使得
成立?若存在
,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知幂函数f(x)=xα,当x>1时,恒有f(x)<x,则α的取值范围是( )
A. (0,1) B. (-∞,1)
C. (0,+∞) D. (-∞,0)
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【题目】已知定义在上的函数
和
的图象如图
给出下列四个命题:
①方程有且仅有
个根;②方程
有且仅有
个根;
③方程有且仅有
个根;④方程
有且仅有
个根;
其中正确命题的序号是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
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【题目】某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量(单位:台),并根据这10个卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.
为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.
(1)当时,记甲型号电视机的“星级卖场”数量为
,乙型号电视机的“星级卖场”数量为
,比较
的大小关系;
(2)在这10个卖场中,随机选取2个卖场,记为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数,求
的分布列和数学期望;
(3)若,记乙型号电视机销售量的方差为
,根据茎叶图推断
为何值时,
达到最小值.(只需写出结论)
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