Question

设椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），离心率为

2

2

，过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x₀，y₀）满足

OP

=

OM

+2

ON

，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，求证：x₀²+2y₀²为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出a²=2b²，AB=2，

c2

a2

+

1

b2

=1，由此能求出椭圆方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，推导出x₁x₂+2y₁y₂=0，利用点差法能证明x₀²+2y₀²为定值．

解答： （1）解：∵椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），离心率为

2

2

，
∴e2=

a2-b2

a2

=

1

2

，即a²=2b²，（2分）
∵过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，∴AB=2．
∴由椭圆的对称性知，椭圆过点（c，1），即

c2

a2

+

1

b2

=1，（4分）
∴

a2-b2

a2

+

1

b2

=1，解得a²=4，b²=2，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．（7分）
（2）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则kOMkON=

y1

x1

y2

x2

=-

1

2

，化简得x₁x₂+2y₁y₂=0，（9分）
∵M，N是椭圆C上的点，
∴

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1，
∵

OP

=

OM

+2

ON

，∴

x0=x1+2x2 y0=y1+2y2

，（11分）
∴

x

2 0

+2

y

2 0

=(x1+2x2)2+(y1+2y2)2
=(

x

2 1

+2

y

2 1

)+4(

x

2 2

+2

y

2 2

)+4(x1x2+2y1y2)
=4+4×4+0=20（定值）．（16分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两数和为定值的证明，是中档题，解题要熟练掌握椭圆的简单性质，注意点差法的合理运用．