Question

（1）已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，求圆C的方程．
（2）求与圆x²+y²-2x+4y+1=0同心，且与直线2x-y+1=0相切的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）根据垂径定理可得弦AB的垂直平分线必然过圆心，故利用线段中点坐标公式求出AB的中点坐标，由A和B的坐标求出直线AB的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1求出线段AB垂直平分线的斜率，由求出的斜率与AB的中点坐标得出线段AB的垂直平分线方程，又圆心在x轴上，令求出的直线方程中y=0，求出x的值，可确定出圆心C的坐标，再由A和C的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长，即为圆C的半径，由圆心和半径写出圆C的标准方程即可．
（2）求出圆的圆心坐标，利用圆与直线相切，求出圆的半径，即可得到圆的方程．

解答：解：（1）∵A（5，1），B（1，3），
∴线段AB的中点坐标为（

5+1

2

，

1+3

2

），即（3，2），
直线AB的斜率k_AB=

3-1

1-5

=-

1

2

，
∴线段AB垂直平分线的方程为y-2=2（x-3），即y=2x-4，
又圆心在x轴上，∴令y=0，得到2x-4=0，即x=2，
∴圆心C坐标为（2，0），
∴圆的半径r=|AC|=

(5-2)2+(1-0)2

=

10

，
则圆C的方程为（x-2）²+y²=10． 
（2）解：所求圆的圆心坐标为 （1，-2），
因为直线与圆相切，所以圆的半径为：

|2+2+1|

22+1

=

5

所以所求圆的方程为：（x-1）²+（y+2）²=5．

点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：线段的中点坐标公式，两直线垂直时斜率满足的关系，直线的点斜式方程，一次函数与坐标轴的交点，两点间的距离公式，以及垂径定理的运用，根据题意确定出圆心C的坐标是解本题的关键，考查直线与圆相切的关系的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．