Question

已知函数f（t）=|t+1|-|t-3|．
（I）求f（t）＞2的解集；
（II）设a＞0，g（x）=ax²-2x-5．若对任意实数x，t，均有g（x）≥f（t）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）找出界点t=-1和t=3，分三种情况进行讨论，将问题转化为求解不等式问题；
（II）根据题意对任意实数x，t，均有g（x）≥f（t）恒成立，将问题转化为g（x）的最小值大于等于f（t）的最大值即可；

解答：解：（I）由|t+1|-|t-3|＞2得，
（1）当t＜-1，时
可得-4＞2，t∈∅；
（2）当-1≤t≤3时，
2t-2＞2，解得{t|2＜t≤3}；
（3）当t＞3时，4＞2恒成立，
∴t＞2；
∴f（t）＞2的解集为{t|t＞2}；
（II）∵a＞0，g（x）=ax²-2x+5，g（x）≥f（t）恒成立，
可转化为g_min（x）≥f_max（t）
g（x）=a（x-

1

a

）²+

5a-1

a

f（t）=|t-1|-|t-3|≤|t+1-t+3|=4，
∴

a＞0 5a-1 a ≥4

解得a≥1；

点评：此题考查绝对值不等式求解问题和函数的恒成立转化问题，考查的知识点比较全面，是一道中档题；