Question

已知F₁、F₂是双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆的共同焦点，若点P是两曲线的一个交点，且△PF₁F₂为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是

1. A.
   x
2. B.
   
3. C.
   x
4. D.
   

Answer 1

B
分析：先利用双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆的共同焦点，求得a²+b²=4，再利用点P是两曲线的一个交点，且△PF₁F₂为等腰三角形，求得交点坐标，从而可求双曲线的标准方程，进而可求双曲线的渐近线方程
解答：不妨设P是两曲线在第一象限的交点，P（x，y）
由题意，椭圆的焦点为（±2，0）
∵双曲线（a＞0，b＞0），与椭圆的共同焦点
∴a²+b²=4①
∵点P是两曲线的一个交点，且△PF₁F₂为等腰三角形
∴|PF₁|=|F₁F₂|=4
∵椭圆的左准线方程为：
∴
∴
∵P在椭圆上
∴
∵P在双曲线上
∴②
由①②得：
∴b²=3，a²=1
∴
∴双曲线方程为：
∴双曲线的渐近线方程是
故选B．
点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆与双曲线的几何性质，考查椭圆的定义的运用，属于中档题．