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精英家教网如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=BC=1,BB1=2,连接B1C,过B点作B1C.
的垂线交CC1于E,交B1C于F.
(I)求证:A1C⊥平面EBD;
(Ⅱ)求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值.
分析:(法一)
(I)由正方形的性质可得AC⊥DB,而A1C在平面ABCD内的斜线,由三垂线的逆定理可得A1C⊥BD①,又A1C在平面BB1C1C内的射影
B1C⊥BE,同理可得BEA1C⊥BE②由①②根据直线与平面垂直的判定定理可证
(II)由(I)可得EF⊥平面A1B1C,考虑连接DF,根据三垂线定理可得∠EDF即为直线ED与平面A1B1C所成的角,在直角三角形EDF中,求解∠EDF即可.
(法二)如图以A为原点,建立空间直角坐标系A-xyz,
(I)要证A1C⊥平面EBD?
A1C
BE
, 
A1C
DE
?
A1C
BE
=0  ,
A1C
DE
=0
,利用向量的数量积的坐标表示可证
(II)分别求解平面A1B1C的一个法向量为
m
,DE与平面A1B1C所成角转化为
DE
m
所成的角,代入公式cosθ=
m
DE
|
m
||
DE
|
可求
解答:精英家教网法一:(I)证明:连接AC,由底面ABCD为正方形,得AC⊥DB.
∵AC是A1C在平面ABCD内的射影,∴A1C⊥BD
又∵A1B1⊥平面BB1C1C,且A1C在平面BB1C1C内的射影B1C⊥BE,
∴A1C⊥BE,又BE∩BD=B∴A1C⊥平面EBD

(Ⅱ)解:连接DF,A1D∵EF⊥B1C,EF⊥A1C
∴EF⊥平面A1B1C∴∠EDF即为直线ED与平面A1B1C所成的角
由条件AB=BC=1,BB1=2
可知B1C=
5
,BF=
2
5
5
B1F=
4
5
5
,CF=
5
5

EF=
FC•BF
B1F
=
5
10
,EC=
FC•BB1
B1F
=
1
2

ED=
EC2+CD2
=
5
2
sinEDF=
EF
ED
=
1
5


精英家教网解法二:(I)证明:如图以A为原点,建立空间直角坐标系A-xyz,
则∵
A1C
BE
=1×0+1×1+(-2)×
1
2
=0,
A1C
DE
=1×1+1×0+(-2)×
1
2
=0

A1C
BE
A1C
DE

即A1C⊥BE,A1C⊥DE∵BE∩DE=E∴A1C⊥平面EBD;
(Ⅱ)解:设平面A1B1C的一个法向量为
m
=(x,y,z)
A1B1
•m=0
B1C
•m=0
x=0
y=2z

令z=1,得m=(0,2,1),又
ED
=(-1,0,-
1
2
)

ED
m
所成角为θ,则cosθ=
m•
ED
|m|•|
ED
|
=-
1
5
.从而把直线
∴直线ED与平面A1B1C所成角的正弦值为
1
5
点评:本题主要考查了空间直线与平面的位置关系:垂直关系的判定定理的运用,直线与平面所成角的求解,在解决此类问题时,采用空间向量的方法,可以很容易寻求解题思路,但要注意直线与平面所成的角的范围.
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3
,AD=2
3
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3
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3
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(1)求证:AC1⊥平面EBD;
(2)求点A到平面A1B1C的距离;
(3)求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值.

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