Question

8．已知$\overrightarrow{a}$=（cosa，sina），$\overrightarrow{b}$=（cosp，sinp）．
（1）求证：$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$互相垂直；
（2）求|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最大值．

Answer 1

分析 （1）只要证明：（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0即可．
（2）2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2cosa+cosp，2sina+sinp．可得|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（2cosa+cosp）^{2}+（2sina+sinp）^{2}}$=$\sqrt{5+4cos（a-p）}$，利用cos（a-p）≤1即可得出．

解答 （1）证明：$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（cosa+cosp，sina+sinp）．$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（cosa-cosp，sina-sinp）．
（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=（cos²a-cos²p）+（sin²a-sin²p）=1-1=0，
因此$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$互相垂直．
（2）解：2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2cosa+cosp，2sina+sinp．
|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（2cosa+cosp）^{2}+（2sina+sinp）^{2}}$
=$\sqrt{5+4cos（a-p）}$≤$\sqrt{9}$=3．
当且仅当cos（a-p）=1时取等号．
∴|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最大值为3．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、三角函数的值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．