Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥C-PBD的体积．

Answer 1

分析：（1）连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，要证EF∥平面PAD，只需证明EF∥PA即可；
（2）求三棱锥C-PBD的体积，转化为P-BCD的体积，求出底面面积和高，即可求出体积．

解答：解：（1）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点
故在△CPA中，EF∥PA，（3分）
且PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD（6分）
（2）取AD的中点M，连接PM，
∵PA=PD，
∴PM⊥AD（8分）
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PM⊥平面ABCD，（10分）
∴VC-PBD=VP-BCD=

1

3

S△BCD•PM=

1

3

•

1

2

a•a•

1

2

a=

a3

12

（14分）

点评：本题考查直线和平面平行的判定，棱锥的体积，是中档题．