Question

14．在△ABC中，已知A=60°，AB=2，角A的平分线AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，求边AC的长．

Answer 1

分析 由已知可得∠DAB=30°，△DAB中，由余弦定理可求BD的值，在△DAB中，由正弦定理可得$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{sin∠ABD}$，结合∠ABD∈（0，180°），可得∠ABD=90°，即可解得AC的值．

解答 解：∵由已知可得：∠DAB=30°，
∴△DAB中，由余弦定理可得：
BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos∠DAB=4+$\frac{16}{3}$-2×$2×\frac{4\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4}{3}$，
∴BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，…（4分）
∵△DAB中，由正弦定理可得：$\frac{BD}{sin∠DAB}$=$\frac{AD}{sin∠ABD}$，
即：$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{sin∠ABD}$，
∴解得：sin∠ABD=1，
∵∠ABD∈（0，180°），
∴∠ABD=90°，…（8分）
∴Rt△ABC中，AC•cos60°=AB，可得：AC=$\frac{AB}{cos60°}$=$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=4．…（10分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．