Question

6．若对于任意x＞0，$\frac{{x}^{2}}{7{x}^{2}-4x+1}$≤a恒成立，则实数a的取值范围是$[\frac{1}{3}，∞）$．

Answer 1

分析 将恒成立问题转化为函数的最大值并化简，利用换元法、配方法和二次函数的性质求出数a的取值范围．

解答 解：∵对于任意x＞0，$\frac{{x}^{2}}{7{x}^{2}-4x+1}$≤a恒成立，
∴a≥$\frac{{x}^{2}}{7{x}^{2}-4x+1}$=$\frac{1}{7-\frac{4}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}}$的最大值即可，
设t=$\frac{1}{x}$（t＞0），则$\frac{1}{7-\frac{4}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{1}{{t}^{2}-4t+7}$=$\frac{1}{{（t-2）}^{2}+3}$，
∵当t=2时，（t-2）²+3取最小值3，∴$\frac{1}{{（t-2）}^{2}+3}$取到最大值是$\frac{1}{3}$，
∴实数a的取值范围是$[\frac{1}{3}，∞）$，
故答案为：$[\frac{1}{3}，∞）$．

点评 本题考查恒成立问题转化为求函数的最值问题，以及换元法、配方法和二次函数的性质的应用，考查化简、变形能力．