Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝x ²－x－10与x轴的交点为A，与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连结AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t(单位：秒)

（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；

（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；

（3）当t∈（0，）时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；

（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．

 

Answer 1

（1）在y＝x ²－x－10中，令y＝0，得x ²－8x－180＝0．

解得x＝－10或x＝18，∴A(18，0)．········································ 1分

在y＝x ²－x－10中，令x＝0，得y＝－10．

∴B(0，－10)．·························· 2分

∵BC∥x轴，∴点C的纵坐标为－10．

由－10＝x ²－x－10得x＝0或x＝8．

∴C(8，－10)．························· 3分

∵y＝x ²－x－10＝(x－4)²－

∴抛物线的顶点坐标为(4，－)．············································· 4分

（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可．

∵QC＝t，PA＝18－4t，∴t＝18－4t．

解得t＝．······································································· 6分

（3）设点P运动了t秒，则OP＝4t，QC＝t，且0＜t＜4.5，说明点P在线段OA上，且不与点O，A重合．

∵QC∥OP，     ∴＝＝＝＝．

同理QC∥AF，∴＝＝＝，即＝．

∴AF＝4t＝OP．

∴PF＝PA＋AF＝PA＋OP＝18．················································ 8分

∴S_△PQF ＝PF·OB＝×18×10＝90

∴△PQF的面积总为定值90．·················································· 9分

（4）设点P运动了t秒，则P(4t，0)，F(18＋4t，0)，Q(8－t，－10)  t∈（0，4.5）．

∴PQ ²＝(4t－8＋t)²＋10 ²＝(5t－8)²＋100

FQ ²＝(18＋4t－8＋t)²＋10 ²＝(5t＋10)²＋100．

①若FP＝FQ，则18 ²＝(5t＋10)²＋100．

即25(t＋2)²＝224，(t＋2)²＝．

∵0≤t≤4.5，∴2≤t＋2≤6.5，∴t＋2＝＝．

∴t＝－2．································································· 11分

②若QP＝QF，则(5t－8)²＋100＝(5t＋10)²＋100．

即(5t－8)²＝(5t＋10)²，无0≤t≤4.5的t满足．························· 12分

③若PQ＝PF，则(5t－8)²＋100＝18 ²．

即(5t－8)²＝224，由于≈15，又0≤5t≤22.5，

∴－8≤5t－8≤14.5，而14.5 ²＝()²＝＜224．

故无0≤t≤4.5的t满足此方程．············································· 13分

注：也可解出t＝＜0或t＝＞4.5均不合题意，

故无0≤t≤4.5的t满足此方程．

综上所述，当t＝－2时，△PQF为等腰三角形．··················· 14分