Question

已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=-2f（x+2），当x∈（0，2}时，f（x）=-2x²+2x．设f（x）在（2n-2，2n]上的最大值为a_n（n∈N⁺），且{a_n}的前n项和为S_n，则

lim

n→∞

S_n=（　　）

• A．2
• B．

  10

  3

• C．

  5

  6

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：由条件可得f（x+4）=

1

22

f（x），当x∈（0，2]时，n=1，求得a₁=

1

2

，从而得到{a_n}的奇数项构成以

1

2

为首项，以

1

4

为公比的等比数列，求出{a_n}的所有的奇数项的和．当x∈（2，4]时，n=2，求得a₂=2，{a_n}的偶数项构成以2为首项，以

1

4

为公比的等比数列，故{a_n}的所有的偶数项的和．再把奇数项的和与偶数项的和相加即得所求．

解答：解：∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=-2f（x+2），∴f（x+2）=-

1

2

f（x），
∴f（x+4）=-

1

2

f（x+2）=

1

22

 f（x），f（x+6）=-

1

23

f（x），…f（x+2n）=（-1）ⁿ 

1

2n

 f（x）．
∵当x∈（0，2]时，n=1，f（x）=-2x²+2x，故当x=

1

2

时，f（x）取得最大值为a₁=

1

2

．
当x∈（2，4]时，n=2，0≤x-2＜2，f（x-2）=-2（x-2）²+2（x-2）．再由f（x）=-2f（x+2）可得 f（x-2）=-2f（x），可得 
-2（x-2）²+2（x-2）=-2f（x），∴f（x）=（x-2）²-（ x-2 ）=（x-2）（x-3），显然 x=4时，f（x）在（2，4]上有最大值为 a₂=2．
再由f（x+4）=

1

22

f（x）可得，{a_n}的奇数项构成以

1

2

为首项，以

1

4

为公比的等比数列，故{a_n}的所有的奇数项的和为

a1

1-q

=

2

3

．
{a_n}的偶数项构成以2为首项，以

1

4

为公比的等比数列，故{a_n}的所有的偶数项的和为

a2

1-q

=

8

3

．
故{a_n}的所有项的和S=

lim

n→∞

S_n =

2

3

+

8

3

=

10

3

．
故选B．

点评：本题以函数为载体，考查数列的通项与求和，解题的关键是确定函数的解析式，利用等比数列的求和公式进行求和，属于难题．